基于容量增量曲線與GWO-GPR的鋰離子電池SOH估計
作者：王琛, 閔永軍
單位：南京林業(yè)大學汽車與交通工程學院
引用：王琛, 閔永軍. 基于容量增量曲線與GWO-GPR的鋰離子電池SOH估計[J]. 儲能科學與技術, 2023, 12(11): 3508-3518.
DOI：10.19799/j.cnki.2095-4239.2023.0458
摘 要 電池健康狀態(tài)(state of health， SOH）的準確估計是電池管理系統(tǒng)的關鍵技術之一，對保障電動汽車安全、可靠運行至關重要。針對當前高斯過程回歸(gaussian process regression，GPR)中單一核函數(shù)泛化性能不足，超參數(shù)選取易陷入局部最優(yōu)導致SOH估計精度較低的問題，提出一種灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimization，GWO)和組合核函數(shù)改進GPR的SOH估計方法。首先，基于容量增量分析法提取用于表征電池老化的特征，對電池恒流充電的容量-電壓曲線插值并以差分法計算容量增量(increment capacity，IC)曲線，應用Savitzky-Golay濾波平滑處理，提取峰值高度、峰值電壓及峰面積作為健康特征；其次，引入多維尺度變換(multidimensional scaling， MDS)消除特征冗余性同時降低模型計算復雜度，利用Pearson系數(shù)驗證所提健康特征與SOH的相關性；然后，結合SOH退化軌跡的非線性和電池容量再生的準周期性特點，將神經(jīng)網(wǎng)絡核函數(shù)與周期核函數(shù)組合作為GPR的協(xié)方差核函數(shù)，以GWO對組合核函數(shù)超參數(shù)的初值進行優(yōu)化；最后，基于NASA電池數(shù)據(jù)集將所提方法與SVR、ELM、GPR模型作對比，檢驗GWO-GPR模型的準確性，估計結果的最大均方根誤差(root mean square error，RMSE)和平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)分別為1.03%和0.5%，以第60、80、100個循環(huán)為估計起始點，驗證模型的魯棒性，結果顯示最大RMSE控制在1.03%以內(nèi)。
關鍵詞 鋰離子電池；健康狀態(tài)；容量增量曲線；高斯過程回歸；灰狼優(yōu)化算法
面對環(huán)境污染和化石能源短缺的雙重壓力，電動汽車被認為是推進電氣化交通、優(yōu)化能源結構、改善空氣質量的重要舉措，在全世界得到推廣應用。動力電池是電動汽車最核心的部件，鋰離子電池作為一種清潔能源，以其能量密度高、循環(huán)壽命長、無記憶效應、續(xù)航能力強等諸多優(yōu)點，成為了新一代電動汽車的首選動力源。然而在使用過程中，其內(nèi)部會發(fā)生復雜的化學反應，導致SEI膜加厚、電極材料和電解質溶液損耗等，電池的安全性降低、續(xù)駛里程減少。因此實現(xiàn)電池健康狀態(tài)(state of health，SOH)準確估計是鋰離子電池安全應用的基礎。
電池的退化是內(nèi)部反應和外部環(huán)境影響的綜合過程，除了電池內(nèi)部耦合、時變的電化學反應外，外部負載、溫度和放電深度等因素也會影響電池老化，最終導致不同的衰退軌跡，這給SOH監(jiān)測和評估帶來了挑戰(zhàn)。鋰離子電池SOH估計方法主要分為模型法和數(shù)據(jù)驅動法2類。模型法又分為電化學模型和等效電路模型2種。電化學模型通過建立偏微分方程來描述電池動態(tài)特性，過高的模型計算復雜度使其更多應用于電池衰退機理方面的研究；等效電路模型根據(jù)電池的外部電氣特性，利用基本電子元件和受控電壓源建立電路模型，常與自適應濾波算法如卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)、粒子濾波(particle filter，PF)等結合，通過更新模型參數(shù)實現(xiàn)SOH估計。然而電池是一個復雜的系統(tǒng)，其荷電狀態(tài)、充放電倍率、溫度等都會影響電池參數(shù)的變化，因此等效電路模型參數(shù)辨識難度較大，難以全面準確地描述電池動態(tài)特性。
數(shù)據(jù)驅動法從外部可測量的參數(shù)中提取與電池衰退具有強關聯(lián)性的健康特征，通過機器學習等智能算法，建立健康特征與電池SOH的映射模型，具有較高的靈活性和可拓展性。Wu等從充電曲線中提取SOH特征參數(shù)，將重要性采樣策略應用到前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(feed forward neural network，F(xiàn)FNN)以減少神經(jīng)元數(shù)量，一定程度上減輕了模型調(diào)參難度；Yayan等以電池恒流充電電壓、電流作為SOH特征參數(shù)，基于雙向長短期神經(jīng)網(wǎng)絡(bi-directional long short-term memory，Bi-LSTM)構建模型，但其前期訓練需要大量數(shù)據(jù)，且模型抗干擾能力也不強；Wang等從差分熱伏安(differential thermal voltammetry，DTV)曲線中提取特征建立電池退化模型，然而DTV曲線形狀易受環(huán)境溫度影響，難以從中提取到高質量健康特征；Nuhic等提取電池循環(huán)次數(shù)、使用時間、溫度等參數(shù)，建立支持向量回歸(support vector regression，SVR)模型實現(xiàn)SOH估計，且在實際駕駛循環(huán)下進行了驗證；此外，極限學習機(extreme learning machine，ELM)、隨機森林(random forest，RF)也廣泛應用于SOH估計，然而上述方法無法量化結果的不確定性。高斯過程回歸(gaussian process regression，GPR)是一種基于統(tǒng)計學原理和貝葉斯理論的方法，在處理小樣本回歸問題時有突出優(yōu)勢，同時可以輸出置信區(qū)間表示結果的不確定性，是一種應用十分廣泛的機器學習方法。Richardson等以GPR模型實現(xiàn)了電池SOH預測，但單一核函數(shù)存在擬合、泛化能力較弱，易陷入局部最優(yōu)等缺點，使得模型對容量再生現(xiàn)象難以精確捕捉。
針對上述問題，本工作提出一種基于容量增量(increment capacity，IC)曲線與灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimization，GWO)改進GPR的SOH估計方法，該方法應用容量增量分析法(incremental capacity analysis，ICA)從電池IC曲線上提取健康特征，采用多維尺度變換(multidimensional scaling，MDS)非線性降維方法消除特征的冗余性同時降低模型計算復雜度；結合SOH退化軌跡的非線性和電池容量再生的準周期性特點，提出以組合核函數(shù)改進GPR，針對共軛梯度法依賴初值、容易陷入局部最優(yōu)的缺點，采用GWO算法對核函數(shù)超參數(shù)初值進行優(yōu)化，實現(xiàn)了鋰電池SOH的準確估計。
1 電池數(shù)據(jù)介紹
1.1 電池數(shù)據(jù)
本工作使用的是美國國家航天局(NASA)鋰離子電池公開數(shù)據(jù)集，選取編號為B0005、B0006、B0007的電池作為研究對象。在室溫下以1.5 A進行恒流充電，電壓升高到4.2 V后在恒壓模式下繼續(xù)充電，直至充電電流降至20 mA。放電以2 A恒流進行，直到電池電壓分別降至2.7 V、2.5 V和2.2 V。實驗記錄了3塊電池在每個充放電循環(huán)中的溫度、電流、電壓、容量等信息，其容量隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖1所示。
圖1 NASA數(shù)據(jù)集電池容量退化曲線
隨著循環(huán)次數(shù)的增加，電池容量曲線并非呈單調(diào)遞減趨勢，容量再生的現(xiàn)象導致曲線出現(xiàn)局部波動，且在后期循環(huán)中出現(xiàn)了準周期性的特點，這種非線性關系對電池SOH準確估計提出了更高的技術要求。
1.2 電池健康狀態(tài)定義
電池SOH是指將電池當前時間點的狀態(tài)和初始狀態(tài)相比來評估當前特定性能的健康水平，隨著電池循環(huán)次數(shù)增加，可用容量逐漸降低，因此本工作采用可用容量與電池額定容量之比來定義電池SOH。
式中，圖片為電池第圖片個循環(huán)的電池SOH，圖片為第圖片個循環(huán)的電池可用容量，圖片為額定容量。
2 算法介紹
2.1 Pearson系數(shù)
Pearson系數(shù)用于衡量2個變量圖片和圖片之間的線性關系，其計算公式如下：
其中，圖片是數(shù)學期望，圖片是方差，圖片為圖片和圖片的協(xié)方差。協(xié)方差和標準偏差的商稱為2個變量的相關系數(shù)圖片。Pearson系數(shù)的值介于-1和1之間，絕對值越大代表2個變量之間的線性相關性越強，其正負表示二者呈正相關或負相關。
2.2 多維尺度變換
為消除特征冗余，減少機器學習模型的訓練成本并一定程度上提高模型準確性和泛化性能，通常對多維特征進行降維。應用廣泛的主成分分析法(principal component analysis，PCA)適用于線性變換，降維后數(shù)據(jù)間的非線性相關性有可能丟失，而電池充電過程的復雜性和不確定性會造成所提取的健康特征之間呈非線性關系，因此本工作采用MDS非線性降維方法。同時，該方法將高維數(shù)據(jù)的相對距離映射到低維空間時盡可能保持不變，這些距離度量可以更好地反映數(shù)據(jù)之間的相似性和差異性，從而提升MDS的降維效果。其降維過程具體描述如下。
假設圖片個樣本在高維空間的距離矩陣為圖片，圖片中第圖片行圖片列的元素圖片代表樣本圖片和圖片之間的距離；經(jīng)MDS方法降至圖片維的樣本表示為圖片，且圖片，令降維后樣本的內(nèi)積矩陣為圖片，且圖片，則有：
將數(shù)據(jù)中心化處理，表示為
2.3 高斯過程回歸
GPR有非參數(shù)化和概率性等優(yōu)點，其通過定義似然函數(shù)來反映經(jīng)驗風險，然后利用貝葉斯理論得到后驗概率的假設，無需建立輸入圖片與輸出圖片之間具體的函數(shù)關系。高斯過程(gaussian process，GP)被看作是遵循高斯分布的有限數(shù)量隨機變量的集合，其性質主要由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)決定，它們統(tǒng)稱為核函數(shù)，如式(9)所示：
出于對稱的考慮，均值核函數(shù)圖片通常設置為0，協(xié)方差核函數(shù)圖片通常為平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)，如式(11)。在實際使用中，也可以根據(jù)應用場景選用不同的核函數(shù)。
實測數(shù)據(jù)中包含噪聲，因此對于回歸問題，觀測數(shù)據(jù)圖片與隱式函數(shù)圖片的對應關系為
其中，圖片是輸入變量，圖片為高斯噪聲，服從均值為0、噪聲方差為圖片的高斯分布。因此觀測值圖片的先驗分布表示為
式中，圖片為n維對稱正定協(xié)方差矩陣，用于描述各個觀測點之間的相關性；圖片為圖片維單位矩陣。GPR的超參數(shù)對回歸模型的效果有著重要影響，對超參數(shù)集圖片的優(yōu)化采用的是最大邊緣似然法，表示為
對上式超參數(shù)求偏導，通過共軛梯度法使偏導數(shù)取最小值，即得到最優(yōu)超參數(shù)。由于GP是一個隨機的過程，當新的訓練集圖片的變量都與原訓練集圖片具有相同的高斯分布，那么在測試點圖片處的觀測值圖片與預測值圖片的聯(lián)合先驗分布可表示為：
根據(jù)圖片的聯(lián)合高斯先驗分布，可推導出后驗分布：
其中，
式中，均值圖片為圖片的估計值；圖片為測試樣本的協(xié)方差矩陣，反映估計值的可靠性。GPR給出的95%置信區(qū)間為
GPR模型所采用的單一協(xié)方差核函數(shù)擬合、泛化能力有限，僅適合對數(shù)據(jù)的某一方面進行描述；通過將不同類型的核函數(shù)組合，可以更好地適應復雜數(shù)據(jù)形式，增強模型非線性映射能力，提升整體準確性和魯棒性。結合電池SOH退化的非線性和電池容量再生的準周期性特點，本工作選取神經(jīng)網(wǎng)絡核函數(shù)和周期核函數(shù)組合作為GPR的協(xié)方差核函數(shù)，表示如下：
針對共軛梯度法本身存在依賴初值、容易陷入局部最優(yōu)等缺點，采用GWO算法對組合核函數(shù)的超參數(shù)初值進行優(yōu)化，構建GWO-GPR模型，以解決傳統(tǒng)GPR模型超參數(shù)尋優(yōu)結果不理想、預測效果差的問題。
2.4 灰狼優(yōu)化算法
GWO算法靈感來自灰狼的自然狩獵行為和狼在狼群中的領導能力，具有參數(shù)少、收斂速度快、擬合精度高等多方面優(yōu)勢。首先在搜索空間內(nèi)隨機生成種群，每次迭代依據(jù)適應度的高低將前3只狼記為圖片，其余為圖片；圖片對獵物進行定位，領導圖片不斷逼近獵物，實現(xiàn)獲取目標問題的最優(yōu)解。本工作將GPR模型組合協(xié)方差核函數(shù)的超參數(shù)作為狼群個體位置的初始信息，隨著狼群尋找獵物的位置而不斷更新，從而獲取最優(yōu)超參數(shù)。GWO算法的具體步驟如下所述。
2.4.1 包圍
狼群圍捕獵物首先要對其進行包圍，數(shù)學模型可表示為
其中，圖片是獵物和狼群之間的距離，圖片是迭代次數(shù)；圖片和圖片分別是狼群位置向量和獵物位置向量;圖片和圖片是協(xié)同向量，定義為
式中，圖片、圖片為區(qū)間[0,1]的隨機向量；圖片是取值為(0, 2)的收斂因子，并隨著迭代次數(shù)的增加線性減小。
2.4.2 狩獵
獵物的位置被識別和包圍后，狼群進行狩獵。每次迭代期間圖片依靠圖片(當前最優(yōu)解)、圖片(次優(yōu)解)、圖片(第三優(yōu)解)的位置信息來更新自身位置，不斷縮小與獵物的距離，狼群個體位置變化的數(shù)學表達式如下：
2.5 算法流程
本工作提取充電IC曲線的峰值高度、峰值電壓和峰面積為特征參數(shù)，經(jīng)MDS降維后劃分為訓練集和測試集，將訓練集的數(shù)據(jù)輸入GPR，選取神經(jīng)網(wǎng)絡核函數(shù)和周期核函數(shù)組合作為協(xié)方差核函數(shù)改進GPR，并使用GWO算法對組合核函數(shù)的超參數(shù)初值進行優(yōu)化，建立GWO-GPR模型，將測試集數(shù)據(jù)輸入訓練后的模型實現(xiàn)SOH估計。整體算法流程如圖2所示。
圖2 GWO-GPR算法流程
3 實驗驗證與誤差分析
3.1 健康特征的提取及降維
鋰離子電池恒流充電期間，電壓達到一定值后增長變得緩慢，這被稱為電壓平臺期，如圖3所示。此時電池正負極材料中鋰離子的遷移速率和反應速率達到了動態(tài)平衡，電壓平臺期的變化是評估電池SOH的重要依據(jù)。
圖3 不同循環(huán)下充電電壓變化曲線
容量增量分析法能夠將平緩的電壓平臺轉化為IC曲線上易識別的波峰，容量增量是指單位電壓所對應充入的容量dQ/dV，表達式如下：
式中，圖片為第圖片和圖片時刻已充入的電池容量，圖片為第圖片和圖片時刻的電池端電壓。電池的老化程度不同，繪制出的IC曲線也會有明顯差異，因此可從IC曲線上提取出電池老化特征，如波峰高度、位置和峰下面積等；同時該方法在統(tǒng)一的電壓尺度下分析充電數(shù)據(jù)，解決了實際應用中直接對電壓、電流數(shù)據(jù)進行分析時時間尺度難以統(tǒng)一、健康特征難以構建的問題。NASA數(shù)據(jù)中沒有給出實時的容量變化信息，而在恒流充電狀態(tài)下電流幾乎不變，因此本工作使用電流和時間差來計算容量變化，如式(28)~(29)所示：
由式(29)可知，電壓間隔對IC值有顯著影響，原始數(shù)據(jù)電壓采樣間隔較大且存在不確定性，如波峰、波谷等對應的電壓位置不在實驗采樣點則IC曲線上會忽略這些重要特征，導致提取的電池健康特征難以表征電池退化程度。為此，首先對充電電壓數(shù)據(jù)進行線性插值，縮小采樣間隔從而方便捕捉特征，再采用電壓差分法計算獲取IC曲線。此時圖片較插值前更小甚至為負，易使圖片結果出現(xiàn)異常值，在IC曲線上表現(xiàn)為產(chǎn)生大量噪聲。為進一步獲得易于識別的IC曲線，選用Savitzky-Golay濾波器進行降噪。這是一種基于時域局部多項式最小二乘擬合的濾波方法，其最大特點是可以保證信號的形狀和寬度不變，保留低頻數(shù)據(jù)信號的同時去除相關高頻部分[23]。如圖4所示，降噪后曲線變得平滑，波峰位置清晰可見，易于健康特征的提取。
圖4 IC曲線濾波前后對比
圖5為B0005電池在部分循環(huán)下的IC曲線，可以看出電壓在3.8～4.1 V之間IC曲線變化明顯，第一個波峰隨循環(huán)次數(shù)增加逐漸消失，第二個波峰的峰值在逐漸減小的同時位置后移，這是由于電池內(nèi)部的活性材料和鋰離子損失使得化學反應發(fā)生變化，導致內(nèi)阻增加，引起電壓平臺偏移。因此，IC曲線第二個波峰的峰值及位置反映出電池老化的過程，可作為評估電池SOH的2個重要健康特征。文獻[24]中提出將各個波峰對應的20 mV電壓區(qū)間峰下面積作為特征，以減小濾波算法直接引起的波峰峰值和位置漂移所造成的誤差，本工作在此基礎上提出以IC曲線變化最明顯的3.9～4.1 V定電壓區(qū)間峰下面積作為健康特征，進一步擴大面積計算范圍以減小濾波前后峰下面積的誤差。按照上述方法分別提取出B0005、B0006、B0007電池IC曲線的峰值高度、峰值電壓、峰面積，與SOH對應的三維分布關系如圖6所示，可以直觀看出隨著電池SOH衰退，峰值高度逐漸降低，峰面積逐漸減小，峰值電壓逐漸升高，反映出3個健康特征與SOH均存在較好的線性關系。
圖5 不同循環(huán)下的IC曲線
圖6 電池健康特征與SOH關系
使用Pearson系數(shù)法定量衡量上述健康特征與電池SOH之間的相關性，分析結果見表1。
表1 健康特征相關性分析結果
為消除特征冗余同時減少后續(xù)機器學習模型訓練成本，應用MDS非線性降維方法將三維特征降至一維，降維后特征與電池SOH相關性計算結果見表2。
表2 降維后特征相關性分析結果
由分析結果可見，降維前的特征與電池SOH相關性系數(shù)最低為0.9550，降至一維后的相關性系數(shù)最低為0.9878，證明MDS降維方法一定程度上提升了所提特征與電池SOH之間的相關性，降維后的特征能夠更加準確地反映出SOH變化趨勢。
3.2 GWO-GPR模型預測結果
本研究以電池數(shù)據(jù)前80個循環(huán)作為訓練集，后88個循環(huán)作為測試集，將所提基于IC曲線的GWO-GPR模型與目前電池SOH估計領域常用的SVR、ELM、未改進的GPR模型作對比，以驗證所提模型的準確性。
為清晰量化不同模型的評估效果，選用均方根誤差(root mean square error，RMSE)和平均絕對誤差(mean absolute error，MAE)對SOH估計結果進行定量評價，MAE是SOH真實值和估計值之間絕對差值的平均，可以評估所提出方法的預測水平，其主要缺點是對異常值不敏感，而RMSE是均方誤差的均方根，彌補了MAE的不足，表示如下：
其中，圖片表示電池SOH的真實值，圖片為估計值，圖片為實驗電池循環(huán)的總次數(shù)。
由圖7可知，在測試循環(huán)前期，4種方法對SOH退化軌跡均有較好的跟蹤能力，但隨著實驗周期的增加，退化曲線的非線性越來越強，導致SVR、ELM及GPR的結果逐漸偏離SOH真實值；相比其他模型，GWO-GPR的SOH估計結果能較好地描述電池的退化軌跡，并可輸出95%置信區(qū)間為結果提供不確定度量：3塊電池SOH的真實值均落在GWO-GPR的置信區(qū)間內(nèi)，證明該模型的估計結果有較強的可靠性。置信區(qū)間的上限和下限與真實值越接近，則估計結果的可信度越高，由于GWO-GPR對SOH的預測分布是從早期電池循環(huán)中產(chǎn)生，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，其置信區(qū)間的上下限范圍不斷擴大，表明對于循環(huán)后期的SOH退化估計的不確定性增加。通過誤差分析圖可以更直觀地看出GWO-GPR模型的RMSE和MAE均為最小，說明模型估計精度高且穩(wěn)定性好。其余3種模型的精度和穩(wěn)定性較差，在B0005電池上誤差從小到大排序為SVR、GPR、ELM，在B0006電池上誤差從小到大排序為ELM、GPR、SVR，在B0007電池上誤差從小到大排序為SVR、ELM、GPR。
圖7 不同算法的SOH估計及誤差分析
4種方法的SOH估計結果定量評價如表3，應用SVR模型估計B0005、B0006、B0007電池SOH的最大RMSE及MAE分別為0.0282和0.0214，應用ELM模型估計結果的最大RMSE及MAE為0.0190和0.0167，應用GPR模型估計結果的最大RMSE及MAE為0.0244和0.0180，均高于GWO-GPR模型的0.0103和0.0050。文獻[25]使用未改進的GPR在相同起點進行SOH估計，3塊電池的最大RMSE達到0.0210，為GWO-GPR誤差的2倍多，進一步證明了本改進模型可以提供更精確的SOH估計。
表3 不同方法SOH估計結果評價
3.3 魯棒性分析
SOH的衰退是動態(tài)過程，在實際使用中電池的老化狀態(tài)通常是未知的，能否在不同老化階段均實現(xiàn)準確的SOH估計是模型實用性能的重要標準。為進一步分析GWO-GPR模型的魯棒性，驗證其在不同電池老化狀態(tài)下的SOH估計精度，本工作基于B0005、B0006、B0007數(shù)據(jù)集，以每塊電池前60、80、100個循環(huán)作為GWO-GPR模型的訓練集，后續(xù)循環(huán)作為測試集進行實驗。由圖8可知，不同電池老化狀態(tài)下GWO-GPR模型均展現(xiàn)出良好的SOH估計效果，證明該模型具有較高的魯棒性。
圖8 第60、80、100個循環(huán)為起點的SOH估計效果
不同起始循環(huán)下的SOH估計RMSE如表4所示，最大誤差出現(xiàn)在B0006電池以第60個循環(huán)為估計起始點時，僅為1.03%。隨著估計起始點后移、訓練集樣本數(shù)增加，模型輸出的95%置信區(qū)間逐漸縮小，表明對估計值的不確定性降低，這是由于更大的訓練樣本使模型能夠更全面地理解數(shù)據(jù)的特征、分布和趨勢；同時模型的估計精度也有進一步提升，在起始循環(huán)為100時，3塊電池的估計精度達到了0.46%、0.73%、0.52%。
表4 不同起始循環(huán)下SOH估計均方根誤差
綜上所述，本工作所提基于容量增量曲線的GWO-GPR模型具有較高的準確性和魯棒性，能夠對不同老化程度的電池進行準確的SOH估計。
4 結論
本工作提出一種基于IC曲線的GWO-GPR鋰離子電池SOH估計模型。以容量增量分析法從IC曲線上提取峰值高度、峰值電壓、峰面積作為健康特征，利用MDS進行非線性降維，消除特征冗余性同時降低模型計算復雜度，通過Pearson系數(shù)法驗證了降維后的特征與SOH有更強的相關性。結合SOH實際衰退軌跡，采用組合核函數(shù)改進GPR模型，為克服共軛梯度法對超參數(shù)求解時依賴初值、容易陷入局部最優(yōu)等缺點，使用GWO算法對組合核函數(shù)的超參數(shù)進行優(yōu)化，建立GWO-GPR模型；以NASA電池數(shù)據(jù)集中的前80個循環(huán)為訓練集，后88個循環(huán)為測試集，與SVR、ELM及未改進的GPR作比較，證明了GWO-GPR模型具有更高的精度，RMSE和MAE最大僅為1.03%和0.5%；以每塊電池第60、80、100個循環(huán)作為估計起始點，結果顯示最大誤差控制在1.03%以內(nèi)，驗證了模型的魯棒性。
